Problemstellung:

Die Entwicklung von Schalenelementen mit linearen Ansätzen für Geometrie und Verschiebungen – die meist genutzten Elemente in der Berechnung von Schalentragwerken, insbesondere bei Fragestellungen mit großen Verschiebungen und großen Deformationen wie Crash und Umformsimulationen – kann auch bezüglich Effizienz als ausgereizt bezeichnet werden. Quadratische Ansätze mit Erweiterungen zur Reduktion der Membran- und Schubversteifung haben sich für implizite Analysen auch in der Erweiterung für große Deformationen gut bewährt. Die besonderen Vorteile liegen in der geringeren Empfindlichkeit gegenüber verzerrten Elementformen und in der besseren Erfassung gekrümmter Schalengeometrien. Für transiente Analysen mit expliziter Zeitintegration fehlt die Umsetzung völlig, wobei insbesondere Effizienzgesichtspunkte zu berücksichtigen sind. Nur damit, werden Elemente für praktische Anwendungen interessant; dies zeigt sich im täglichen industriellen Einsatz. Das dem Projekt zugrunde liegende Arbeitsprogramm lässt sich in drei Teile gliedern:

Entwicklung eines effizienten Finiten, Schalen-, bzw. Volumenschalenelementes quadratischer Ansatzordnung für explizite Analysen.

In einem ersten Schritt erfolgt für die in Vorprojekten für implizite statische Fragestellungen erstellten 18-Knoten Volumenschalenelemente [1], später auch für ebenfalls vorliegende degenerierte Schalenelemente [2], eine Weiterentwicklung hinsichtlich der Nutzung innerhalb einer expliziten Zeitintegration. Die Einbeziehung erweiterter Verzerrungen zur Vermeidung von Dickenversteifung, sowie des ANS-Konzeptes für Biege- und Membranversteifungen werden – unter dem Gesichtspunkt der Effizienz – für die explizite Elementformulierung umgeformt. Die Implementierung erfolgt für den Institutseigenen Finite-Element-Code FEAP-MEKA, wobei die Umsetzung hier speziell für eine explizite Zeitintegration – möglichst ohne implizite Lösungsanteile – erfolgen soll. Die Implementierung erfolgt zunächst auf konventionellem Weg, also händisch, wobei auf effiziente Umsetzung geachtet wird.

Programmgestützte FE-Entwicklung

Als zweites Ziel des Projekts ist der Aufbau einer Systematik zur programmgestützten Entwicklung von Finiten Elementen für zwei- und dreidimensionale Probleme zu nennen. Die programmtechnische Umsetzung einzelner FE-Subroutinen soll neben herkömmlichen Programmierwerkzeugen vor allem mit dem MATHEMATICA®-Plugin ACEGEN® [3,4] durchgeführt werden. Dieser Programmaufsatz, welcher allgemein zugänglich ist, ermöglicht die Generierung von bezüglich Recheneffizienz optimiertem FORTRAN-Code aus MATHEMATICA®-Funktionen. Es werden deutliche Effizienzsteigerungen gegenüber händischem Programmieren erwartet. Die so optimierten Subroutinen sollen in den bestehenden FE-Code eingefügt werden und so die Bearbeitung von Problemen mit großen Elementzahlen ermöglichen. Ferner bietet die konsequente Nutzung solcher Werkzeuge wesentliche Erleichterungen bezüglich einer fehlerfreien Erstellung, bzw. Modifikation von Programmteilen. Damit soll der Arbeitsprozess der Entwicklung von Finiten Elementen und deren Umsetzung in FE-Programmen entscheidend beschleunigt werden und den Entwicklern erlauben, den Schwerpunkt auf methodische und ergebnisorientierte Aspekte zu richten.

Numerische Untersuchungen

Zum Abschluss des Projektes ist die numerische Untersuchung von Schalenproblemen und Großdeformationsproblemen mit den entwickelten Elementen vorgesehen. Im Vordergrund steht neben der Validierung der Entwicklungen an kleineren numerischen Beispielen die eigentliche Nutzung für Schalentragwerke unter dominant transienter Belastung, für die der Vorteil der besseren Geometrieapproximation der quadratischen Elemente an ausgewählten Beispielen mit Löchern und Schalenverbindungen herausgestellt werden soll. Als Großdeformationsprobleme sind in erster Linie Umformprobleme dünner Bleche sowie Schalenstrukturen unter Impaktbelastung zu nennen, bei denen die Vorteile quadratischer Elementansätze deutlich werden. Denkbar ist an dieser Stelle auch die Kopplung der expliziten Analyse mit der bereits vorhandenen impliziten Formulierung, um z.B. Rückfederberechnungen durchzuführen. Dies wird entsprechend bei der Programmierung berücksichtigt, um eine Datenübertragung von der expliziten zur impliziten Formulierung zu ermöglichen.

Stand der Arbeiten:

Das Projekt befindet sich derzeit in der ersten Phase: „Entwicklung eines effizienten Finiten Schalen-, bzw. Volumenschalenelementes quadratischer Ansatzordnung für explizite Analysen“. Die bereits vorhandene, implizite Formulierung eines 18-Knoten Volumenschalenelementes dient hier als Grundlage, um verschiedene, im Schrifttum vorgeschlagene Verfahren sowie weitere Alternativen hinsichtlich der Aufstellung einer diagonalisierten Massenmatrix zu untersuchen. Dies ist für explizite Analysen unbedingt erforderlich, da im Hinblick auf eine effiziente Lösung z.B. mit dem verwendeten zentralen Differenzenverfahren, mit dem Zwangspunkt sehr kleiner Zeitschritte, eine diagonale Form der Massenmatrix unabdingbar ist.

Referenzen:
[1] M. Harnau: Finite Volumen-Schalenelemente für große Deformationen und Kontakt. Dissertation, Institut für Mechanik, Universität Karlsruhe (TH), 2004
[2] R. Hauptmann: Strukturangepasste geometrisch nichtlineare Finite Elemente für Flächentragwerke. Dissertation, Institut für Mechanik, Universität Karlsruhe (TH), 1997
[3] S. Wolfram: The Mathematica Book. Wolfram Media, 4. ed., 1999
[4] J. Korelc: http://www.fgg.uni-lj.si/Symech/